Digitale Logik

Elektronisches Rechnen

Schon mit analoger Technik wurde elektronisch gerechnet. Aus dieser Zeit stammt der Operationsverstärker. Allerdings ist der immer fest für eine bestimmte Aufgabe verdrahtet. Erst mit der Digitaltechnik war es möglich, universell programmierbare Rechner herzustellen. Warum rechnen Computer nicht wie wir mit dem dezimalen Zahlensystem? Versuchen wir mal per Gedankenexperiment einen Dezimalcomputer zu entwickeln.

Im Dezimalsystem steht an jeder Stelle einer Zahl eine Ziffer von 0-9. Wollen wir diese Zahl elektronisch speichern, bräuchten wir für jede Stelle eine Speicherzelle. Diese müsste 10 verschiedene Zustände annehmen können, damit sie die 10 möglichen Ziffern unterscheiden kann. Was wäre dafür geeignet?
Wir könnten einen Kondensator aufladen, wobei dann 0 Volt für die 0, 1 Volt für die 1, 2 Volt für 2 usw. stehen würde. Das würde aber in der Praxis bedeuten, wir brauchen sehr stabile Spannungen und sehr genaue Messgeräte, die die Spannungen messen und so die Speicherzellen auslesen können. Schon kleine Ungenauigkeiten oder Spannungsschwankungen würden die Zahlen verfälschen.
Noch problematischer wird es, wenn wir Zahlenwerte dauerhaft abspeichern wollen, denn die Kondensatoren würden sich nach dem Ausschalten des Computers schnell entladen. Bei der Aufzeichnung auf magnetische Datenträger müsste man die Magnetfeldstärke in 10 Stufen einstellen und wieder auslesen können. Dabei ist der Aufwand für eine genaue Einstellung noch das geringste Problem. Auch das Magnetfeld, auf einer Diskette zum Beispiel, lässt mit der Zeit nach. Schon am nächsten Tag würde man völlig falsche Zahlen lesen. Und es ist noch schlimmer. Die Stärke des auf der Diskette hinterlassenen Magnetfeldes hängt nicht nur vom Strom durch den Schreibkopf bei der Aufzeichnung ab, sondern auch von der Beschaffenheit der Magnetschicht. Disketten von anderen Herstellern oder nur aus einer anderen Charge haben schon direkt nach der Aufzeichnung völlig unterschiedliche Magnetfeldstärken. Das macht eine Zuordnung zu bestimmten Zahlen völlig unmöglich. Mit unseren 10 Ziffern kommen wir nicht weiter. Allerdings ist es technisch relativ einfach nur zwei verschiedene Zustände voneinander zu unterscheiden.


Das Binärsystem

Ist es denn ein Naturgesetz, dass wir mit dem Dezimalsystem rechnen müssen? Nein, es ist eine willkürliche Festlegung, die wahrscheinlich daher kommt, dass die Menschen früher mit ihren Fingern gezählt haben. In Mesopotamien verwendete man vor 5000 Jahren ein Sechziger-System und die Maya rechneten mit der Basis 20. Kann es denn auch ein Zahlensystem mit nur 2 Ziffern geben?
Um die Frage zu beantworten, sehen wir uns zunächst mal an, wie das Dezimalsystem funktioniert. Wir beginnen mit den Ziffern bis 9 zu zählen. Dabei beginnen wir heute mit der 0. Das war nicht immer so. Im römischen Zahlensystem gab es zum Beispiel noch keine 0. Wenn wir mit den Ziffern einmal durch sind, merken wir uns das in einer neuen, vorangestellten Stelle und wir beginnen wieder von vorn zu zählen. Ab der 19 haben wir das gleiche Problem und zählen die vorgesetzte Stelle wieder um eins hoch. Bei der 99 geht das dann nicht mehr und wir brauchen eine dritte Stelle, die zählt, wie oft wir die Zehnerstelle einmal durchgezählt haben. Mit größer werdenden Zahlen erhöht sich die Anzahl der Stellen mit jeder Zehnerpotenz.

Dezimalzahlen

In jedem Zahlensystem haben die Stellen bestimmte Wertigkeiten, die der Potenz der Basis entsprechen. Im Dezimalsystem sind das die Zehnerpotenzen. Die hintere Stelle ist die Einerstelle und entspricht 100. Dann folgt die Zehnerstelle (101), die Hunderterstelle (102) usw. Um den Wert einer mehrstelligen Zahl zu ermitteln, werden die Inhalte der einzelnen Stellen mit der Wertigkeit multipliziert und dann alle Stellen addiert.

Wert einer Dezimalzahl

Versuchen wir doch einmal zu zählen, wenn wir nur zwei Ziffern zur Verfügung haben. Wir kommen gerade mal bis 1. Jetzt müssen wir wieder von vorn beginnen und die Stelle davor geht auf 1. Es folgen jetzt also 10 und 11. Jetzt sind wir in der gleichen Situation, wie im Dezimalsystem bei der 99. Wir brauchen jetzt schon eine 3. Stelle. Zählen wir weiter: 100, 101, 110, 111. Die nächste Zahl, die der 8 entspricht, braucht schon 4 Stellen. Wir stellen fest, im Prinzip funktioniert es genauso. Wir bekommen nur sehr schnell, sehr lange Zahlen. Was uns an Ziffern fehlt, müssen wir mit zusätzlichen Stellen ausgleichen.

Binärzahlen

Für uns ist es allerdings schwierig den Wert einer mehrstelligen binären Zahl zu erfassen. Ein Grund ist, dass die Zahlen für uns namenlos sind. Im Dezimalsystem haben wir den Zahlen Namen gegeben, zum Beispiel Fünfundvierzigtausendeinhundertsiebenunddreißig. Um die Zahlen zu verstehen, müssen wir sie ins Dezimalsystem übersetzen. Wir rechnen wieder die Stellen zusammen, nur dass sie diesmal den Zweierpotenzen entsprechen.

Wert einer Binärzahl

Die Zahl der notwendigen Speicherzellen im Binärsystem ist zwar größer, als bei Dezimalzahlen, diese müssen aber nur noch zwei Zustände kennen. Das lässt sich technisch relativ einfach realisieren. Spannung da, Spannung weg. Das ist auch mit sehr hohen Toleranzen sicher unterscheidbar. Bistabile Kippstufen kennen zwei Zustände und lassen sich mit kurzen Impulsen umschalten. Was ist mit den Disketten? Ein Magnetfeld hat nicht nur eine Stärke, sondern auch eine Richtung. Die zwei Zustände werden einfach durch unterschiedliche Polung des Magnetfeldes unterschieden. Die kann man unabhängig von der Magnetfeldstärke sicher ermitteln. Davor speicherte man auf Lochkarten und die Frage lautet einfach nur, Loch oder kein Loch. Mit dem Dezimalsystem müssten wir 10 verschiedene Lochgrößen unterscheiden können. Es war also irgendwie logisch, dass man beim Binärsystem landete.
Jede Speicherzelle im Binärrechner kann eine Stelle einer Binärzahl abbilden. Sie kennt nur die Werte 0 oder 1. Das ist die kleinstmögliche Informationseinheit in der Digitaltechnik und man bezeichnet sie mit 1 Bit. 8 Speicherzellen ergeben ein Byte. In einem Byte lässt sich also maximal eine 8-stellige Zahl speichern. Das sind die Zahlen von 0 bis 255.



< Startseite <   > nächste Seite >