Der Name Operationsverstärker stammt aus der Zeit der Analogrechner. Da die Grundschaltung des OPV der Differenzverstärker ist, liegt die erste Rechenoperation auf der Hand.
Der Subtrahierer
Die Ausgangsspannung hängt von der Spannungsdifferenz der Eingänge ab. Eingang 1 arbeitet wie ein nichtinvertierender Verstärker. Die Spannung wird um das Verhältnis von R2 zu R1 verstärkt und umgekehrt. $$U_{A(1)} = -U_{E1} \cdot \frac{R2}{R1}$$ Die Spannung UE2 wird durch den Spannungsteiler aus R3 und R4 reduziert, bevor sie auf den nichtinvertierenden Eingang geht und dort wie bei einem nichtinvertierenden Verstärker verstärkt wird. $$U_{E2}^* = U_{E2} \cdot \frac{R4}{R3 + R4}$$ $$U_{A(2)} = U_{E2}^* \Big(1 + \frac{R2}{R1} \Big)$$ Beide Spannungen überlagern sich, sodass sich die Spannung am Ausgang wie folgt berechnet: $$U_A = U_{A(2)} + U_{A(1)}$$ $$U_A = U_{E2} \cdot \frac{R4}{R3 + R4} \Big(1 + \frac{R2}{R1} \Big) -U_{E1} \cdot \frac{R2}{R1}$$
Aus der recht komplizierten Formel lassen sich zwei Sonderfälle ableiten. Für den Fall, dass alle 4 Widerstände gleich groß sind, ist die Verstärkung 1. Die Ausgangsspannung entspricht der Differenz beider Eingangsspannungen. $$U_A = U_{E2} - U_{E1}$$ Wenn die Verhältnisse der Widerstände an beiden Eingängen gleich sind, also R2/R1 = R4/R3, wird daraus: $$U_A = U_{E2} - U_{E1} \cdot \frac{R2}{R1}$$
Der Addierer
Der Addierer arbeitet als invertierender Verstärker. Die Eingangsspannungen werden einfach parallel auf den invertierenden Eingang des OPV geleitet. Theoretisch sind beliebig viele Eingänge möglich. Mit den Widerständen lässt sich für jeden Kanal eine eigene Verstärkung einstellen. Die Ausgangsspannung erscheint mit umgekehrter Polarität. $$-U_A = U_{E1} \cdot \frac{R3}{R1} + U_{E2} \cdot \frac{R3}{R2}$$
Für den Sonderfall, dass alle Widerstände gleich sind, ist die Verstärkung wieder 1 und die Eingangsspannungen werden vom Betrag her einfach addiert. $$-U_A = U_{E1} + U_{E2}$$ Bei sehr hochohmigen Widerständen sind die geringen Eingangsströme am OPV nicht mehr vernachlässigbar. Sie führen dazu, dass die virtuelle Masse am nichtinvertierenden Eingang nicht mehr ganz auf null Volt liegt. Zum Ausgleich legt man einen Kompensationswiderstand zwischen den nichtinvertierenden Eingang und Masse. Seine Größe entspricht der Parallelschaltung aller Widerstände am invertierenden Eingang.
$$R_k = R1 \parallel R2 \parallel R3$$
Der Potenzierer
Bisher hatten wir nur einen linearen Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgrößen. Beim Potenzieren muss die Ausgangsspannung exponentiell ansteigen. Dazu muss sich die Verstärkung des OPV mit der Eingangsspannung verändern. Der Eingangswiderstand wird durch ein Bauelement mit einer nichtlinearen Kennlinie ersetzt, zum Beispiel eine Halbleiterdiode. Der Zusammenhang zwischen Spannung und Strom durch die Diode entspricht in etwa einer e-Funktion.
$$-U_A = R2 \cdot I_S \cdot e^{\frac{U_E}{U_T}}$$ Der Sperrstrom IS und die sogenannte Temperaturspannung UT sind zwar Konstanten, die aber temperaturabhängig sind. Um genauere Ergebnisse zu bekommen, sind zusätzliche Maßnahmen zur Temperaturkompensation notwendig.
Der Logarithmierer
Bei der Umkehroperation muss die Verstärkung mit der Eingangsspannung exponentiell abnehmen. Das erreicht man dadurch, dass Widerstand und Diode die Plätze tauschen.
$$-U_A = U_T \cdot \Big(ln \frac{U_E}{R1 \cdot I_S} \Big)$$
Der Integrierer
Da sich der Invertierende Verstärker immer so einstellt, dass der Eingang eine virtuelle Masse ist, liegt über dem Eingangswiderstand die Eingangsspannung und über dem Rückkoppelwiderstand die Ausgangsspannung. Legt man in die Rückkopplung einen Kondensator, lädt der sich auf, solange eine Spannung am Eingang liegt, und zwar umso höher, je länger die Eingangsspannung anliegt. Der OPV regelt die Ausgangsspannung immer so nach, dass die virtuelle Masse erhalten bleibt. Am Anfang ist der Kondensator noch nahezu ein Kurzschluss. Seine Impedanz nimmt aber mit steigender Ladung zu. Damit erhöht sich auch das Widerstandsverhältnis XC/R und am Ausgang entsteht eine linear ansteigende Spannung.
Die Spannung am Kondensator bildet das Integral der Eingangsspannung über die Zeit.
$$-U_A = \frac{1}{R \cdot C} \cdot \int\limits_{t1}^{t2} U_E \enspace dt$$
In der gezeigten Form macht der Integrator in der Praxis einige Probleme. Zum einen ist die Gleichstromverstärkung theoretisch unendlich, da der Gleichstromwiderstand des Kondensators unendlich hoch ist. Außerdem muss dafür gesorgt werden, dass sich der Kondensator vor einem erneuten Integriervorgang entladen kann. Um eine praktikable Schaltung zu erhalten, wird der Kondensator mit einem hochohmigen Widerstand überbrückt.
Auf Wechselspannungen wirkt der Integrierer wie ein Tiefpass. Mit steigender Frequenz sinkt die Impedanz des Kondensators in der Rückkopplung und damit auch die Verstärkung des OPV.
Der Differenzierer
Durch Vertauschen von R und C bekommen wir die Umkehrung der Integration. Der invertierend Eingang ist wieder die virtuelle Masse. Damit entspricht die Spannung über dem Kondensator der Eingangsspannung. Der Ladestrom des Kondensators fließt auch über den Widerstand, da kein Strom in den OPV hinein fließt und er errechnet sich aus der zeitlichen Änderung der Spannung am Kondensator mit der Zeit, multipliziert mit der Kapazität des Kondensators. Multipliziert man den Strom mit dem Widerstand R, bekommt man die Spannung über dem Widerstand, die gleich der Ausgangsspannung ist. $$-U_A = R \cdot C \cdot \frac{dU_E}{dt}$$
Für Wechselspannung verhält sich der Differenzierer wie ein Hochpass, denn mit der Frequenz sinkt die Impedanz des Kondensators, wodurch die Verstärkung des OPV mit der Frequenz steigt.